Дифракция волн на областях с особенностями границы и приложения к задачам квантовой механики

Номер гранта:13-01-00165
Область научного знания:математика, механика, информатика
Тип конкурса: («а» (до 2016))(«а») инициативные научные проекты
Год выполнения:2013г.
Руководитель: Лялинов М.А.
Статус заявки:поддержана

Аннотация к заявке:

Задачи рассеяния классических волн на клине и конусе относятся к классическим проблемам математической физики; начиная с работ А.Пуанкаре, их исследованию было посвящено огромное количество математических работ. Однако, во многих важных случаях нет удовлетворительного аналитического решения задачи даже в двухмерной ситуации. Сейчас такие задачи становятся особенно актуальными благодаря интересу со стороны прикладников. С другой стороны, подходы, возникающие при исследовании таких задач, оказываются очень эффективными для решения актуальных задач из других областей. Проект посвящен изучению как задач рассеяния классических волн на ( в ) областях, имеющих сингулярные точки границы – ребра и конические точки, так и близких к ним задач из теории многочастичного рассеяния и задач из теории оператора Шредингера с потенциалом, медленно зависящим от времени.

Аннотация к отчету по результатам реализации проекта:

С использованием интегральных представлений Ватсона-Бесселя и Зоммерфельда решение задачи рассеяния акустических (электромагнитных) волн на плоском угловом секторе сведено к сумматорной системе уравнений. Доказано фредгольмово свойство системы. Вычислена асимптотика дальнего рассеянного поля на основе использования интегрального представления Зоммерфельда. Для этого, изучены особенности трансформант Зоммерфельда с использованием вспомогательной начально-краевой задачи для волнового уравнения на сфере с разрезом. Описание особенностей, по-существу, сводится к построениям микролокального характера для волнового оператора на сфере с негладкой границей (разрезом по дуге). Различным типам построенных особенностей отвечают соответствующие компоненты в асимптотике рассеянного поля. Исследованы асимптотики решений одномерного уравнения Шредингера с потенциалом, медленно зависящим от времени. Изучалась модельная задача, для которой соответствующий стационарный оператор, зависящий от времени, как от параметра, имеет конечное число собственных значений и абсолютно непрерывный спектр, а собственные значения с ростом времени двигаются к непрерывному спектру и, по очереди достигая его, исчезают одно за другим. Полностью описано асимптотическое поведение решения типа нормальной волны — решения нестационарного уравнения близкого в некоторый момент времени к собственной функции стационарного оператора. Успешно начато исследование родственной задачи из теории распространения волн: задачи о распространении акустической нормальной волны в узком прибрежном морском клине. При решении описанных задач возникает потребность исследовать асимптотики решений разностных уравнений на комплексной плоскости с малым параметром сдвига. В ходе выполнения проекта мы занялись систематическим развитием асимптотической теории таких уравнений. В рамках дифракционного подхода к задаче рассеяния нескольких заряженных квантовых частиц был предложен анзатц для описания старшего члена равномерной по всем угловым переменным асимптотики (на бесконечности в конфигурационном пространстве) собственных функций непрерывного спектра оператора Шредингера системы N одноименно заряженных трехмерных квантовых частиц. Результаты опубликованы в магистерской диссертации (Я.Ю.Коптелов) и в двух статьях. Разработан формализм, позволяющий в рамках дифракционного подхода к задаче рассеяния трех заряженных квантовых частиц учесть наличие дискретного (кулоновского) спектра в парных подсистемах и, тем самым, влияние точек накопления кулоновского дискретного спектра в парных подсистемах на асимптотику собственных функций непрерывного спектра трехчастичного оператора Шредингера. В 2017 году по результатам работы ожидается защита кандидатской диссертации (Я.Ю.Коптелов). Выполнено численное моделирование многоканального рассеяния электронов в квантовых волноводах переменного сечения. Предложена методика исследования резонансов Фано, возникающих при туннелировании электронов высоких энергий, использующая приближенное вычисление матрицы рассеяния. Разработаны и реализованы численные методы исследования резонансного туннелирования вблизи порогов в квантовых волноводах с двумя сужениями.
Аннотации к заявке и отчету приведены в авторской редакции. по состоянию на 29.03.2024.

Библиография

Приведена в авторской редакции.
Помог ли вам материал?
0    0